Dados estatísticos

Exemplo da altura dos alunos de uma turma do 7.º ano.

Consideremos, de novo, o exemplo da altura dos alunos de uma turma do 7.º ano.

Como a variável em estudo é uma variável quantitativa continua, a moda designa-se por classe modal, é a classe [1,60; 1,65], visto ser a classe com maior frequência absoluta (ou relativa).

Pode considerar-se para valor aproximado da moda, o valor da marca da classe modal, isto é, M_o ≈ 1,675.

Medidas de localização - Moda

Consideremos, de novo, o exemplo da equipa “Pés de Chumbo”

Nos 7 jogos que a equipa realizou, qual foi a maior frequência de números de golos marcados por jogo?

Podemos organizar os dados numa tabela de frequências e num gráfico de barras.

Houve 3 jogos em que a equipa marcou 2 golos. Este foi o número de golos mais frequente que a equipa marcou em cada jogo, como se pode observar pela barra mais alta do gráfico.

Por isso, diz-se que a moda do número de golos que a equipa marcou por jogo é de 2.

Medidas de localização - Mediana

Vamos introduzir uma nova medida de tendência central: a mediana.

Sete amigos foram tirar, pela primeira, o bilhete de identidade. Tiveram que medir as suas alturas, no final, registaram-nas:

138, 137, 140, 142, 133, 145, 135 (cm)

Para melhor as comparar, resolveram colocar-se por ordem crescente das alturas:

133 135 137 138 140 142 145

Observa que a altura do amigo que está no meio é 138 cm.

Assim, dizemos que a mediana das alturas é 138 cm.

Entretanto, chegou outro amigo que se junta ao grupo. A sua altura é igual a 141 cm. Observa o lugar que ele ocupou.

133 135 137 138 140 141 142 145

Repara que, agora, há dois amigos que estão no meio, e não apenas um.

Neste caso, dizemos que a mediana das alturas é a média das alturas centrais:

x = (138 + 140) / 2 = 139

Formulas de calculo da mediana:

Para dados não agrupados

Se o n for impar:

M_d = x_k, k= (n+1) / 2

Se o n for par:

M_d = x_k, K=n / 2

Para dados agrupados

Quando os dados estão agrupados em classes, admite-se que os valores se distribuem uniformemente em cada uma das classes. Por isso, neste caso, considera-se com mediana o valor da variável estatística que corresponde a n/2 , quer n seja par ou impar.

Exemplo da altura dos alunos de uma turma do 7.º ano.

Qual é a média das alturas dos alunos da turma?

x = (1,475x5+1,525x7+1,575x3+1,625x10) / 25 = 1,561

Conceitos:

Classe: intervalo [a, b[ que compreende todos os valores entre a e b, incluindo a e excluindo b.

Amplitude de classe: diferença entre o limite superior (b) e o limite inferior (a) da classe.

Amplitude = b – a

Marca da classe: semi-soma dos extremos de cada classe.

Numa classe [a, b[ a marca de classe é dada por:

(a+b) / 2.

Medidas de localização - Média

Num estudo estatístico, após a recolha, a organização e a representação de dados, procede-se à sua interpretação. Para isso, utiliza-se frequentemente medidas de tendência central: a média, a moda e a mediana.

Começamos por aprofundar o estudo da média.

A equipa “Pés de Chumbo” marcou os seguintes golos, nos 7 jogos que realizou em “casa”:

2; 0; 1; 2; 4; 3; 2

Em média, quantos golos foram marcados por jogo?

x= (2+0+1+2+4+3+2)/7 = 2

A equipa marcou, em média, 2 golos por jogo.

Organização dos dados - pictograma

Num pictograma as frequências absolutas são apresentadas pela repetição de um geométrico ligado ao tema.

Noutros pictogramas escolhe-se para unidade uma figura que será copiada, ampliada ou reduzida, conforme a frequência. As áreas são proporcionais.

Organização dos dados - gráfico circular

Num gráfico circular, estabelece-se uma proporcionalidade entre as frequências relativas em percentagem e a amplitude dos ângulos. A uma frequência relativa de 100 % corresponderá um ângulo com amplitude de 360º.

Recolha e Organização de Dados

O gráfico anterior chama-se um histograma.

Unindo os pontos médios dos lados opostos às bases dos rectângulos do histograma, obtemos um diagrama que se designa por polígono de frequências.

Recolha e Organização de Dados

Actualmente, a apresentação de dados estatísticos é feita através de gráficos realizados em programas informáticos, como Folhas de Cálculo.

A partir destes quadros é possível construir gráficos de barras, gráficos circulares, pictogramas, etc.

Num gráfico de barras:

As bases dos rectângulos têm igual comprimento;

As alturas dos rectângulos são proporcionais às frequências.

As classificações dos testes são apresentadas, normalmente, percentagens. Como os resultados podem ser numerosos e diferentes uns dos outros, é costume agrupá-los, de maneira que a tabela não fique muito extensa.

Organização dos dados através de tabelas de frequências

Quem utiliza o método estatístico recolhe informação (dados) através de entrevistas ou de questionários individuais.

Para a organização dos dados e sua apresentar são utilizadas tabelas de frequências absolutas.

A comparação de dados estatísticos recolhidos em universos diferentes é possível através das tabelas de frequências relativas.

Como o número de elementos de cada universo é diferente, reduzem-se as frequências absolutas à unidade: fr = f_a/ N

As frequências relativas em percentagem obtêm-se multiplicando por 100 a frequência relativa: fr% = fr x 100

Frequência absoluta de um acontecimento é o número de vezes que esse acontecimento é observado. Pode representar-se por f_a.

Frequência relativa é a razão entre a frequência absoluta (f_a) de um acontecimento e o número (N) de elementos do universo em estudo. Pode representar-se por f_r.

Frequências absolutas acumuladas do valor x é a soma das frequências absolutas de todos os valores anteriores a x adicionada à frequência absoluta de x.

Representa-se por F_a.

Frequência relativa acumulada do valor x é a soma das frequências relativas de todos os valores anteriores a x adicionada à frequência relativa de x.

Representa-se por F_r.

Variáveis estatísticas e a sua natureza

A estas características chamam-se caracteres estatísticos (variáveis estatísticas)

Quantitativa – vem expressa por uma número;

Exemplo: Altura – valores: 1,60m; 1,70m; 1,85m; …

Número de elementos do agregado familiar – 2, 3, …

Qualitativa – não pode ser expressa por uma número.

Exemplo: Sexo – categorias: masculino e feminino.

Vocabulário Estatístico

Censos: estudo científico de um universo de pessoas, instituições ou objectos físicos com o propósito de adquirir conhecimentos, observando todos os seus elementos, e fazer juízos quantitativos acerca de características importantes desse universo.

Sondagens: Estudo científico de uma parte de uma população com o objectivo de estudar atitudes, hábitos e preferências da população relativamente a acontecimentos, circunstâncias e assuntos de interesse comum.

População: conjunto cujos elementos têm uma características comum a ser estudada.

Amostra: subconjunto da população que é seleccionado para estudo.

A Matemática nasceu:

Da necessidade que o homem tem de resolver problemas do quotidiano (neste sentido, começa por observar aspectos limitados da realidade e parte para a construção de um modelo matemático dessa porção de realidade.)

Ou

Da imaginação criadora, da perspicácia, da intuição ou da fruição estética, sem ter como objectivo a resolução de problemas práticos.

Objectivos da Estatística:

A estatística fornece-nos as técnicas para extrair informação de dados, os quais são muitas vezes incompletos, na medida em que nos dão informação útil sobre o problema em estudo, não realçando, no entanto, aspectos importantes.

É objectivo da Estatística extrair informação dos dados para obter uma melhor compreensão das situações que representam.